As equivalências lógicas são relações entre proposições compostas que possuem o mesmo valor lógico em todas as combinações possíveis de valores de verdade das proposições simples que as compõem.
1. Lei da Negação
¬(¬P) ≡ P
A negação da negação retorna a proposição original.
Exemplos:
-
P = "Hoje está sol."
¬(¬P) = "Hoje está sol." P = "2 + 2 = 4."
¬(¬P) = "2 + 2 = 4."-
P = "A terra é plana."
¬(¬P) = "A terra é plana."
2. Leis de De Morgan
¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q
¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q
Essas leis permitem distribuir a negação por dentro de uma conjunção ou disjunção.
Exemplos:
-
P = "Eu estudo." e Q = "Eu trabalho."
¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q → "Não estudo ou não trabalho." -
P = "Hoje é feriado." e Q = "Está chovendo."
¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q → "Não é feriado e não está chovendo." -
P = "O sol nasceu." e Q = "Está quente."
¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q → "O sol não nasceu ou não está quente."
3. Implicação
P → Q ≡ ¬P ∨ Q
Uma implicação é equivalente à disjunção do antecedente negado com o consequente.
Exemplos:
-
P = "Você estuda." e Q = "Você passa na prova."
P → Q ≡ ¬P ∨ Q → "Você não estuda ou passa na prova." -
P = "Hoje é sábado." e Q = "Eu vou viajar."
P → Q ≡ ¬P ∨ Q → "Hoje não é sábado ou eu vou viajar." -
P = "Está chovendo." e Q = "Vou usar guarda-chuva."
P → Q ≡ ¬P ∨ Q → "Não está chovendo ou vou usar guarda-chuva."
4. Bicondicional
P ↔ Q ≡ (P → Q) ∧ (Q → P)
Uma bicondicional é equivalente à conjunção de duas implicações.
Exemplos:
-
P = "Eu sou brasileiro." e Q = "Eu falo português."
P ↔ Q → "Sou brasileiro se, e somente se, falo português." -
P = "Hoje é domingo." e Q = "Não há expediente."
P ↔ Q → "Hoje é domingo se, e somente se, não há expediente." -
P = "Vou ao cinema." e Q = "Assisto ao filme."
P ↔ Q → "Vou ao cinema se, e somente se, assisto ao filme."
5. Contraposição
P → Q ≡ ¬Q → ¬P
A implicação é equivalente à sua contrapositiva.
Exemplos:
-
P = "Eu estudo." e Q = "Eu passo na prova."
P → Q ≡ ¬Q → ¬P → "Se não passo na prova, então não estudo." -
P = "Está calor." e Q = "Eu ligo o ventilador."
P → Q ≡ ¬Q → ¬P → "Se não ligo o ventilador, então não está calor." -
P = "Eu tenho dinheiro." e Q = "Eu compro o ingresso."
P → Q ≡ ¬Q → ¬P → "Se não compro o ingresso, então não tenho dinheiro."